Pēdējais Devlin’s Angle raksts, kurš turpināja 2008. gadā iesākto rakstu sēriju, lika man pārvērtēt savu izpratni par aritmētikas pamatdarbību saistību. Kad maniem skolēniem ir grūtības ar reizināšanu, es mēdzu mierināt, ka tā ir tikai atkārtota saskaitīšana. Mani pārsteidza Devlina sašutums par skolotājiem, kas māca skolēniem, ka reizināšana ir atkārtota saskaitīšana. Mana pirmā reakcija bija: “Varbūt tas ko maina augstākajā matemātikā, bet skolā noteikti var šādi vienkāršot.” Tomēr pietiek ar piemēru ³⁄₅*⁵⁄₇, lai sagrautu atkārtotas reizināšanas metaforu. Reizināšana ir skaidri jānodala no saskaitīšanas kā cita veida darbība visās klasēs. Un eksponentfunkcija nav “vienkārši atkārtota reizināšana”. Tās ir saistītas, bet būtiski atšķirīgas.

Ja neskaita to, ka reizināšana nav tikai atkārtota saskaitīšana, tad būtiskākais iemesls, kāpēc saskaitīšanu, reizināšanu un eksponentfunkciju ir būtiski nodalīt, ir dažādie domāšanas veidi, ko katra darbība prasa. Ilustrēšu ar dažiem piemēriem.

• Saskaitīšanas problēma. Jānis, Pēteris un Kārlis kopā pusdienoja. Katrs paņēma dzērienu par 1.00 ls, Jānis paņēma pusdienas par 2.00 ls, Pēteris un Kārlis – par 2.50 ls. Atnestajā kopīgajā rēķinā ir ierēķināts 1.00 ls dzermnaudai. Cik katram jāmaksā?
• Reizināšanas problēma I. Tiešās izmaksas (ēdināšana, izdales materiāli) uz vienu dalībnieku jauniešu konferencē ir 10 ls. Fiksētās izmaksas ir 1000 ls, ja dalībnieku skaits ir mazāks nekā 100, bet 2500 ls, ja dalībnieku skaits ir no 100 līdz 200. Cik cilvēkus vajadzētu aicināt, ja organizatori vēlas pēc iespējas mazākas izmaksas uz vienu cilvēku?
• Reizināšanas problēma II. Reģistrētais bezdarbs valstī, kurā ir 1 miljons darbspējīgo iedzīvotāju, ir 10%. Pieņemsim, ka katra bezdarbnieka apkalpošanai nodarbinātības aģentūras darbinieki velta vienu stundu mēnesī. Cik darbinieku nepieciešams aģentūrai, lai apkalpotu visus bezdarbniekus?
• Eksponentproblēma. Ja 1900. gadā pasaulē dzīvoja aptuveni 1,65 miljardi iedzīvotāju un iedzīvotāju skaita pieaugums bija aptuveni 1% gadā, kādu iedzīvotāju skaitu varēja prognozēt 1970. gadā? 2040.? 2110.?

Domāju, ka piekritīsies, ka katrā no šīm problēmām ir cita dinamika. Saskaitīšana mums ļauj risināt problēmas, kur iesaistīti maz elementu. Reizināšana prasa jau citu abstrakcijas līmenī un ļauj modelēt mēroga ziņā būtiski atšķirīgus scenārijus. Pieejot iedzīvotāju skaita pieaguma jautājumam ar reizināšanas domāšanu, rodas satraukums. Intuīcija varētu teikt, ka 200 gadu laikā iedzīvotāju skaits trīskāršosies, kas ir daudz. Tomēr rūpīgāk pārdomājot, skaidrs, ka, nemainoties pieauguma tempam, tas pieaugs astoņas reizes. Vēl 70 gadus vēlāk tas būs sešpadsmit reizes lielāks (27 miljardi!). Ir skaidrs, ka reizināšanas domāšana eksponentproblēmā var novest pie lielām nepatikšanām – patiesā problēmas mēroga ignorēšanas.

Varbūt teiksiet: “Iesākumam iemācīsim skolēniem reizināšanu kā atkārtotu saskaitīšanu, jo tas ir vienkāršāk. Pēc tam pielāgosim izpratni.” Tomēr, ja sākotnējā ideja prātā nostiprinās, no tās ir ļoti grūti tikt vaļā (unlearn) un aizvietot to ar jaunu. Un mums katru nedēļu ir tik daudz matemātikas stundu tieši tāpēc, lai nostiprinātu apgūtās idejas. Mēs pavadām ļoti daudz laika, lai nostiprinātu nepareizu izpratni.

Bet matemātiķi nav vienīgie, kas saka, ka reizināšana skaidri jānodala no saskaitīšanas. To pašu saka arī izglītības pētnieki. Saskaitīšanas, reizināšanas un eksponentfunkcijas domāšanas vienkārši ir atšķirīgas. Katru no šīm matemātikas pamatdarbībām ir grūti iemācīt, to diez vai kāds noliegs. Tomēr ilgtermiņā (patiesībā, arī īstermiņā) vienkāršāk un kvalitatīvāk ir katru no tām mācīt kā atsevišķas darbības. Plašāku kopsavilkumu ar izglītības pētnieku viedokli par šo jautājumu lasiet šajā Devlin’s Angle rakstā.

Šī diskusija man atgādināja par diviem citiem rakstiem, par kuriem sen jau gribēju uzrakstīt – Formālā aritmētika 10 gadu vecumā – sasteigta vai novēlota? un Matemātiķa žēlabas. Bet par to nākamnedēļ!