Matemātiķa vaimanas

Biju domājis šo rakstu vēl kādu nedēļu pamarinēt, bet Gata Kokina raksts tomēr pamudināja pabeigt šovakar. Saskaitīšanas un reizināšanas diskusija man atgādināja par diviem citiem rakstiem, par kuriem jau sen gribēju uzrakstīt – “Formālā aritmētika 10 gadu vecumā – sasteigta vai novēlota?” (Harvey Bluedorn) un “Matemātiķa vaimanas” (Paul Lockhart). Nezinu par citiem priekšmetiem, bet man ir radies priekšstats, ka skolēniem matemātiku mēģinām uzspiest nedabīgi. Kad tas neizdodas, spiežam vairāk un nedabīgāk. Lokharts piedāvā interesantu salīdzinājumu.

Mūziķis pamostas no briesmīga murga. Savā sapnī viņš ir sabiedrībā, kur muzikālā izglītība ir padarīta obligāta. “Mēs palīdzam saviem skolēniem kļūt konkurētspējīgākiem pasaulē, kura kļūst arvien piepildītāka ar skaņām.” Izglītotāji, skolu sistēmas un valstis uzņemas atbildību par šo vitāli svarīgo projektu. Tiek pasūtīti pētījumi, izveidotas komitejas un pieņemti lēmumi. Viss bez neviena profesionāla mūziķa vai komponista dalības vai padoma.

Tā kā ir zināms, ka mūziķi savas idejas pieraksta uz nošpapīra, šie amizantie punkti un līnijas noteikti veido “mūzikas valodu”. Ir ārkārtīgi svarīgi, lai skolēni iemācītos brīvi pārvaldīt šo valodu, lai viņi iegūtu vismaz kaut kādu muzikālās kompetences līmeni; patiešām, būtu muļķīgi sagaidīt, ka bērns var nodziedāt dziesmu vai spēlēt kādu instrumentu bez kārtīga pamata šajā mūzikas pierakstā un teorijā. Mūzikas spēlēšana un klausīšanās, nemaz nerunājot par oriģinālas melodijas izdomāšanu, tiek uzskatītas par ļoti advancētām tēmām un parasti tiek atlikti līdz universitātei vai, vēl biežāk, līdz maģistrantūrai un doktorantūrai.

Gan jau varat uzminēt, par ko patiesībā ir šie divi paragrāfi. Es gribu saukt kopā ar Lokhartu: “Ļausim skolēniem pašiem atklāt matemātiku!” Bet man, droši vien tāpat kā tiem, kas šobrīd veido matemātikas izglītības politiku Latvijā, ir bail. Bail, ka sanāks vien čiks un beigu beigās neviens vispār neko nebūs iemācījies, un vesela paaudze būs jānoraksta, jo galvā izdomātais ideālais risinājums nestrādās.

Pirms diviem gadiem braucu uz Iespējamās misijas Vasaras akadēmiju un ar jaunajiem kolēģiem pārrunājām mājasdarbu, kurā bija jāizlasa grāmata: “Kurš pievāca manu sieru?” Būtiskākais, ko atceros no grāmatas, bija jautājums: “Ko es darītu, ja man nebūtu bail?” Cerībā iesākt diskusiju, uzrakstīšu savas idejas.

Agra bērnība vienkārši varētu būt neefektīvs laiks, kad mācīt prasmes, ko salīdzinoši ātri var apgūt pusaudža gados (Harvard Educational Review).

Pirmkārt, es atliktu formālās aritmētikas mācīšanu līdz 5. klasei. Iemeslu kopsavilkumu pret agru formālo aritmētiku sniedz kādas Bluedorn raksta nodaļas nosaukums “Bērni nekļūst labāki matemātikā, viņi vienkārši iemācās ienīst skolu”. Es nesaku, ka pirmajās klasēs nevajag matemātiku. Tās varētu būt mazāk, atvēlot vairāk laika valodas attīstībai. Tai vajadzētu balstīties uz “sociālo” aritmētiku (nauda, mērīšana) un matemātiskajām spēlēm, kas veido skaitļu izjūtu, telpisko domāšanu un pacietību problēmu risināšanā. Dungot var bez notīm. Domāt var bez dalīšanas pierakstos. Ja nu kāds izdomā saskaitīšanas vai dalīšanas algoritmu – brīnišķīgi! Pats atceros, ka mazajās klasēs biju izdomājis, kā dalīt, bet darbu, kur to biju izmantojis, man lika pārstrādāt, jo dalīšanu klasē vēl nebijām mācījušies.

Otrkārt, sākot no 5. klases, es pārietu uz citu vērtēšanas sistēmu. Šobrīd mēs mācām 100% no standarta un tad vērtējam, cik procentus no tā skolēni saprot. Es kā skolēns varu pa lielam nesaprast neko (no katras tēmas “salasīt” kādus 40%), bet mans vērtējums būs “pietiekošs”. Man jēdzīgāka šķiet dažu tēmu, bet 100% (nu labi, 95%) izpratne. Un tad skatāmies, cik no visām tēmām es tiešām saprotu. Tad arī mans četrinieks (vai astotnieks) ir jēgpilnāks: “Par eksponentfunkciju neesmu mācījies, bet reizināšanu es izprotu līdz kaulam!” Domāju, ka liela daļa darba devēju par šādu skaidrību priecāsies vairāk nekā: “Es kaut ko zinu par eksponentfunkciju un 40% gadījumu māku sareizināt.” Attiecīgi arī liecībai varētu būt pielikums, kurā uzskaitām tēmas, kuras skolēns tiešām saprot.

Šāda pieeja, protams, iekļauj diferencēšanu (mācīšanas, nevis matemātisko) pavisam citā līmenī. Bet mūsdienās to ir iespējams panākt. Pats pie tā strādāju ar saviem matemātikas video. Tas gan būtu jāpapildina ar (paš)vērtējuma iespējām, pie kurām jau sāk strādāt Khan Academy, kur tēmas izpratni parādi nevis ar 40% pareizi atbildētu jautājumu, bet gan ar 10 pareizi atbildētiem jautājumiem pēc kārtas. Šāda pieeja (kopā ar atbilstošām tehnoloģiju iespējām – dators katram vai vismaz viens uz dažiem skolēniem katrā matemātikas stundā) atbrīvotu skolotāju no viena un tā paša skaidrošanas un vērtēšanas katram skolēnam un ļautu tiešām būt mentoram – palīdzot tajos brīžos, kad skolēni “iesprūst”. Un nestāstiet, ka šādi pazūd personīgais kontakts – skolotāja frontālais darbs ne ar ko nav labāks par video skatīšanos datorā. Toties skolotājam būtu vairāk laika strādāt un runāt individuāli ar skolēniem.

Piekrītu arī Gatim Kokinam, ka lielu daļu no matanalīzes var atstāt tiem, kas to jūt kā savu izaicinājumu. Iepriekš pieminētā diferencēšana to ļautu panākt. Es vēl neesmu līdz galam noformulējis savu viedokli par Konrada Volframa ideju datoru pielietojumam matemātikas mācīšanā, bet esmu drošs, ka lielākajai daļai skolēnu no šai līdzīgas pieejas būtu daudz lielāks ieguvums nekā no diskriminanta rēķināšanas kvadrātvienādojumos un logaritmisko vienādojumu mocīšanas. Tādiem matemātikas dīvaiņiem kā es arī matemātika ar pildspalvu un papīru nekur nepazudīs, bet citi iegūs daudz vairāk.

Par šīm idejām es cīnītos, ja būtu līdz galam pārliecināts. Bet esmu piesardzīgs un gribu vēl mācīties, studēt un pētīt, pirms varu ar pārliecību apgalvot, ka šīs (vai citas, ja tā izrādīsies) ir pareizās pārmaiņas matemātikas izglītībā. Bet šobrīd ļoti priecāšos par Taviem komentāriem un kritiku, lai ātrāk tiktu līdz pareizajai atbildei matemātikas izglītībā.

Advertisements

12 thoughts on “Matemātiķa vaimanas

  1. Es labi neparzinu arabu macisanas metodes un veidu, bet man ir radies iespaids,ka tiesam pamatskolas laika vini vairak koncentrejas uz valodu apmacibu (10 gadigi berni tiri labi runa klasiskaja arabu valoda, francu valoda, anglu valoda un savas valodas dialekta), savukart, pedejo klasu matematikas viela izskatas lidziga, ka mums – vidusskolas. Varbut ir kads veiksmes piemers, no ka var vadities, lai mazinatu bailes?
    Otra lieta:1) atmosfera, gars, paraugi, 2) bailes un bieds.
    1) Ja ir forsa skola, kur ir laba atmosfera, radoss gars, skolotaji, kurus gribas nemt par paraugu dzivei, tad iespejams iemacities ar prieku pilnigi jebko. Jo tas viss vienkarsi patik un interese. Respektivi, darbojas zinatniskais gars. 2) Bailes un bieds ir speciga motivators, bet nez,cik ilgtspejigs. Padomju laikos, lai nebutu jaiet armija, vajadzeja augstako izglitibu. Pec taas loti tiecaas, tatad. Tagad varbut bailes un bieds ir bezdarbs un nabadziba, trukums? Bet Latvijas konteksta, cik loti parliecinasi, ka tiesi matematikas macisanas no ta varetu izvest…

  2. Cik atceros no savas bērnības, nekas man matemātikā līdz piektajai klasei neriebās tik ļoti kā spēles un “sociālā aritmētika”. Man bija sajūta, ka tās mūs pataisa par tādiem “uķi-puķi” muļķīšiem. Man patika tikai tīra rēķināšana un vienādojumi. Tā ka mani šāda jaunmodīga pieeja noteikti atstumtu no matemātikas.

    1. Tas ir labs arguments. Bet man šķiet, ka te ir pieņēmums, ka spēles un “sociālā aritmētika” nav izaicinoši. Es domāju, ka ir pietiekoši daudzi uzdevumi, kuros formālā aritmētika nav nepieciešama, bet kuri arī pēc skolas beigšanas ir pietiekoši izaicinoši. Te gan būtu nepieciešami atbilstoši metodiskie materiāli, kuru šobrīd trūkst.

      Ideālā variantā arī mazajās klasēs vajadzētu spēt ļoti augstā līmenī diferencēt, t.i., tiem, kuri ir gatavi un vēlas, dot apgūt matemātiku ātrāk. Bet es tikai dažas reizes esmu bijis tik jaunas auditorijas priekšā un man ir grūti iedomāties, kā to varētu panākt. Noteikti, ka var, bet darba būtu daudz.

  3. Hah… Manas emocijas pēc šī raksta izlasīšanas ir pretrunīgas.

    No vienas puses, tev taisnība – laba daļa no matemātikas vielas nav priekš visiem, daudziem tā ir pagrūta un nekad nenoderēs. Ir jādod izvēle.

    No otras puses matemātiku man ir diezgan spēcīgs subjektīvs viedoklis. Manuprāt, formāla aritmētika ir jāmāca pēc iespējas ātrāk. Diez vai tas, kas nespēs to apgūt būtu spejīgs nākt klajā ar savu originālu risinājumu, toties tas, kam risinājums jau skaidrs vel pirms zīmulis pieskaras papīram, vienmēr spēs gan pārbaudīt sevi, gan izvelēties ka rīkoties (pēc formulas vai matemātiskā čuja) katrā konkrēta situācijā. Manuprāt gan pamatskolas, gan vidusskolas matemātikas eksāmenu prasības ir absolūts minimums dotajam vecumam. Zemāk nav kur. Problēma nav programmā, bet gan skolotāja un skolēna godprātīgumā un motivācijā. Es neticu, ka vidusskolas matemātikas viela garīgi veselam indivīdam var nebūt apgūstama 12 gadu laikā. Ja vien cilveks to 12 gadus arī macās.

    Tomēr es velētos uzsvert, ka lai arī matemātikā prasību uniformitātes problēma ir visizteiktāka, tā ir arī citos priekšmetos. Mēs vēlamies iemācīt visiem visu un nedodam iespēju apgūt neko konkrētu augstākā līmenī.
    Esmu joprojām labās domas par savu skolu un visiem saviem skolotājiem, bet man joprjam ir rūgtums par dazām lietām.
    Piemēram, mans vienīgais secinājums pēc Raiņa lugas “Jāzeps un viņa brāļi” izlasīšanas un ilgas analīzes bija: šī darba literārā vērtība ir pārspīlēta. Lai gan man nav nekas pret Raini un es nešaubos, ka dažiem maniem klasesbiedriem šī darba petīšanan bija interesanta, man rodas jautājums (un dusmas arī): Kāpēc pie joda man tam bija jāvelta laiks 12jā klasē, kad es jau labi zināju, kuri priekšmeti man būs tiešām vajadzīgi? Diferencialo vienādojumu padziļināta apgūšana man būtu noderīgāka.
    Un tas viss vēl ņemot vērā to, ka es mācījos Rv1.ģ IB programmā, kur varēju atmest vēsturi, fiziku, ģeografiju un bioloģiju par labu ekonomikai, biznesam, angļu literatūrai un vācu valodai.

    Es rosinātu dazādu līmeņu ieviešanu jau no 5 klases. Jau 3 būtu pietiekami: minimums – tiem, kas netaisās integrēt, nekad; vidējais – šī brīza vidusskolas viela un ievads calculus’ā, statistikā, varbūtības teorijā; un augstākais – tie, kam patīk, interesē un velāk vajadzēs. Es nemaz nerunāju par to, cik jauki būtu attiecināt līdzīgu pieeju uz citiem priekšmetiem. Šobrīd vienīgā iespēja ir dažādas skolas ar saviem novirzieniem, Rv1.ģ un RCHV ir viens piemērs.

    Pārlasot uzraktīto, saprotu, ka diez vai konsatēju vai piedāvaju ko jaunu. Kopumā teiktu, ka pat šī brīža sistēma nav tik ļauna – viss atkarīgs no skolnieka un no skolotāja, ja ABI grib, tad visu var. Ja nē, neviena diferencēta programma nespēs palīdzēt. Varbūt pat būtu vērts atkal ieviest palikšanu uz otru gadu, kā šobrīd Vācijā. Daudziem šāds draudz ir reāla motivācija apgūt pat calculus’u, kas visiem vidusskolā obligāts.

    1. Esošās matemātikas prasības ir minimums, bet pārējo gan varētu izvēlēties – kāpēc tā? 😉

      Es nesaku, ka pamatskolas un vidusskolas beigšanas prasības jāsamazina (un tiešām, ņemot vērā arī Daces komentāru, šādās reformās ir jāuzmanās, ka mēs vienkārši nesamazinām prasības, netieši pasakot: “Jūs jau šo nemaz nevarat iemācīties.” Tas nebūtu pareizi.). Bet, ja iespējams iemācīties to pašu īsākā laikā, sākot vēlāk, kāpēc ne? Ir pētījumi, kas saka, ka var. Mans iepriekšējais raksts sniedz minējumu, kāpēc tas tā varētu būt (mazajās klasēs smadzeņu attīstības līmenis nav piemērots abstraktajai domāšanai un skolotāji nelietderīgi vienkāršo apgūstamos jēdzienus, kas jauc tālāku mācīšanos).

      Ideālā situācijā es piekristu, ka “zemāk nav kur”. Bet mēs jau esam zemāk. Vidējais sniegums pagājušā gada eksāmenā matemātikā – 37%. Ja tā būtu ieskaite, gandrīz puse izkristu. Un, ja visi apzinīgi strādātu, būtu labāk. Noteikti. Bet kur pazūd tā motivācija? Pirmajās klasēs visi grib mācīties.

      Dažādiem līmeņiem un skolēnu izvēlei no 5. klases gan es nekādi nepiekrītu. Nevar prasīt tādu atbildību no 5. klases skolēna. Tas ir vecums, kurā mums īpaši ir jāuzsver, ka katrs var. Diferencēšana mācīšanā vienkārši ļautu prasības sasniegt pa dažādiem ceļiem.

  4. Jā, varu tikai piekrist, ka Volframa video par datoru izmantošanu matemātikā atstāja lielu iespaidu uz mani. Un arī es vēl līdz galam neesmu noformulējusi savu gala viedokli – kā tad būtu vispareizāk vai vislabāk.

    Šķiet, ka ir skaidrs – pārmaiņas ir nepieciešamas. Jautājums tikai kādas un kas būs šie cilvēki, kas pieņems šo svarīgo lēmumu.

  5. Lasu un sēroju par to, ka man skolā nav bijusi tāda matemātika, par kādu autors runā, jo, šķiet, ka varbūt tādā veidā es arī kaut ko spētu iemācīties.
    Iedomājieties, man ir divdesmit četri gadi un no visa tā, ko man skolā mācīja matemātikā, es protu tikai skaitīt, atņemt, reizināt, dalīt, vilkt kvadrātsaknes un aprēķināt procentus KALKULATORĀ. Nu, labi, mana profesionālā ievirze un dzīves aicinājums nekādi nesaistās ar matemātiskām zinātnēm, taču gadās izjust diskomfortu par savu absolūto stulbumu šajā laukā. Un man vienmēr ir licies, ka arī es varētu kaut cik iemācīties to matemātiku, ja vien kāds to stāstītu “citā valodā”, man saprotamā.

    Vēl arī tāda lieta – vai tiešām matemātika jāmācās visiem? Ar visiem logaritmiem, funkcijām sīnusiem un kas tik vēl tur nav. Prāta trenniņš un attīstība? Par to, kā par galveno matemātikas būtību skolā, mani neviens nepārliecinās, jo, piemēram, par savām prāta spējām un erudīciju es varu pateikties nevis matemātikai, bet gan interesei par dažādām lietām, dažādu grāmatu un enciklopēdiju lasīšanai, kā arī krustvārdu mīklu minēšanai kopš bērnības. Mans viedoklis – lielai daļai visi tie svešvārdos nosauktie matemātikas grūtumi vispār necik nav vajadzīgi, būtu labāk jauniešiem mācīt laika organizēšanu, informācijas meklēšanu literatūrā un internetā, dažādas prāta spēles, kā arī pavisam elementārus loģigas pamatus caur spēlēm, mīklām un vecumam atbilstošiem uzdevumiem, bet tikai ne “sausiem”! Mums vispār skolā daudz kas ir ļoti “sauss”. Diemžēl.

  6. Man šķiet vajag nevis mācīt mazāk, bet iespēju diferencēt izglītību – pirms tam dodot iespēju uzzināt, kas katrā profesijā ir vajadzīgākais.
    ja ekonomistam labāk der statistika utt, būvniekiem nepieciešamie vienādojumi ir sarežģīti un apjomīgi (es domāju inženierus, nevis celtniekus). Arī fiziķiem un ķīmiķiem tomēr jāsaprot, ko un kā dators rēķina…

    1. Pilnībā piekrītu! Daudz plašākai būtu jābūt iespējai mācīties, piemēram, diferencēšanu un integrēšanu jau vidusskolā, ņemot vērā, ka tie ir būtiski rīki daudzās profesijās. Noteikti ir jāuzmanās, ka mēs vienkārši nesamazinām no skolēniem sagaidāmo rezultātu, kas ir liels risks šādās reformās (mazāk sagaidām, mazāk iegūstam). Tai pat laikā domāju, ka vajadzētu dot arī iespēju mācīties mazāk matemātiku, fokusējoties uz citām prasmēm, piemēram, daudz augstākā līmenī mācīties svešvalodas vai citus priekšmetus.

      Te gan uzreiz jāsaka, ka pateikt šo ir vienkārši, bet izdomāt efektīvu sistēmu, kas to ļautu, ir daudz sarežģītāk. Piemēram, ja nemainās nekas cits, neredzu iespēju, kā šādu diferencēšanu var nodrošināt pat vidēja lieluma Latvijas skola, nemaz nerunājot par mazām lauku skolām. Vai nu jāpieņem sāpīgi lēmumu šajā jomā, vai jāmeklē citi, jauni risinājumi.

  7. Labdien Gati!
    Esmu matemātikas skolotāja. Ar tevi iepazinos mentoru kursos, bet tu noteikti mani neatceries. Man ir lūgums – pastāsti, kā veido savus video? Vai tas ir grūti? Man tie ļoti patīk….. lieliski

Komentēt

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Mainīt )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Mainīt )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Mainīt )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Mainīt )

Connecting to %s