Kādu laiku biju atmetis ar roku konferencēm, tomēr ikgadējo LU DZM IC konferenci, strādājot ar dabaszinību vai matemātikas izglītību, nevar laist garām. Un paldies DZM – konference tiešām bija interesanta un noderīga! Piedāvāju nelielu atskatu uz darbnīcām, kurās piedalījos es.

“Reālā dzīve dabaszinātņu stundās” (mikrofons skolotājam).

Maija Balode pastāstīja savu pieredzi ar skolēnu veidotiem pētnieciskajiem darbiem matemātikā, kas šobrīd ir obligāta prasība starptautiskā bakalaurāta klasēs. Interesanti un aizraujoši projekti! Īpaši – pašiem skolēniem. Šis stāsts ļoti labi parādīja, ka skolēni var patstāvīgi pētīt matemātiku. Ja vēlaties savā skolā ieviest ko līdzīgu, Maija Balode (Rīgas Valsts 1. ģimnāzija) noteikti varēs sniegt kādu vērtīgu padomu!

Inga Riekstiņa parādīja vairākus interesantus piemērus, kā mācīt matemātiku ārpus klases telpām. Piemēram, viņas skolēni pētīja, vai ietves apmales pie skolas atbilst normatīviem (vai cilvēki ratiņkrēslos var tās izmantot), cik daudz apkārtnes kokiem vēl pietrūkst līdz dižkoka statusam, utt.

Īpaši noderīga man šķita pieeja novērtēšanai un dažādu mērījumu salīdzināšanai. Piemēram, Ingas skolēni noteica koku augstumu vairākos veidos un pēc tam pārrunāja, vai un kāpēc mērījumu rezultāti ir atšķirīgi. Viņi veidoja tabulu, kurā dažādiem objektiem vispirms paši novērtēja garumu, laukumu vai tilpumu, un pēc tam to izmērīja un aprēķināja kļūdu. Tagad skolēniem ir skaidrs, ka litrs nav ne kubikcentimetrs, ne kubikmetrs, jo viņi zina, kā tie izskatās. Manuprāt, novērtēšana ir viena no prasmēm, ko mēs skolēniem varētu mācīt vairāk un labāk. Kaut vai (bet ne tikai) tāpēc, ka tas dod iespēju katram skolēnam viegli iesaistīties uzdevumā.

Piebilde – par to, kā veidot iesaistošus uzdevums, manuprāt, diezgan labi un daudz raksta Dan Meyer, piemēram, šeit, t.sk. pieminot zemu slieksni kā laba iesaistoša uzdevuma kritēriju.

“Pētnieciskās prasmes, produktīva darbība matemātikas stundās” (Jānis Vilciņš)

Jānim Vilciņam, kā parasti, bija ļoti strukturēta, noderīga un interesanta nodarbība, kas liek dziļāk aizdomāties par to, kā mācām matemātiku. Šoreiz tas bija ieskats četros saistītos jautājumos.

Pirmajā daļā salīdzinājām uzdevumus un analizējām, kurš un kāpēc ir grūtāks. Tabulā pa pāriem doti piemēri, ko izmantojām. Kā tev šķiet – kurš uzdevums no katra pāra būtu grūtāks skolēniem?

Nr.	A	B
I	Brālim un māsai kopā ir 18 gadi. Brālis ir par 4 gadiem vecāks. Cik gadu ir brālim un cik – māsai?	Tēvs salasīja 15 baravikas. Guna salasīja par 7 baravikām mazāk nekā tēvs, bet Beāte 3 reizes mazāk baravikas nekā tēvs. Cik baraviku ir meitenēm kopā?
II
III	Jebkurš kvadrāts ir arī rombs. (Patiess vai aplams apgalvojums?)	un ir krustleņķi. (Patiess vai aplams apgalvojums?)

Katra uzdevumu pāra analīze prasītu vēl vienu rakstu, bet domas ievirzīšanai, var padomāt par I rindas A uzdevumu. Ja piedāvātais risinājums ir šāds:
18 – 4 = 14
14:2 = 7
7 + 4 = 11
Ko apzīmē pirmā darbība?

Viens variants būtu: “Cik gadi būtu abiem kopā, ja brālis nebūtu 4 gadus vecāks?” Diezgan abstrakti un 5. klasei, iespējams, pārāk izaicinoši. Ja skolotājam ir sajūta, ka skolēnam ir jāmāk tāds atrisināt, bieži tiek iedots tipveida risinājums. Šim uzdevumam, citam, vēl kādam. Un ātri vien matemātika ir pilna ar nesaistītām receptēm. Līdzīgi izaicinājumi ir arī ar pārējiem A kolonnas uzdevumiem.

Otrajā daļā pārrunājām, kādas prasmes matemātikā varam alogirtmizēt. Piemēram, kāpēc varam iemācīt algoritmu, lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, bet ne kvadrātnevienādību? Vilciņa piedāvātais skaidrojums: “Augstāka līmeņa domāšanas prasmes [modelēšana, izvērtēšana, secināšana] nevar “paslēpt” zem zemāka līmeņa domāšanas prasmēm [algoritma izpilde].”

Trešajā daļā domājām, kādi algoritmi ir produktīvi. Atkal izmantojām piemēru . Algoritms skolēnu galvās varētu būt līdzīgs šim:

1. Atrisini .
2. Nosaki zaru vērsumu, uzskicē grafiku.
3. Nosaki zīmes intervālos.
4. Uzraksti atbildi.

Problēmas ar šādu algoritmu parādās tikko skolēns uzdod jautājumu: “Kāpēc jāveic 1. solis?” Atbilde visdrīzāk ir: “Uzzināsi otrajā solī.” Nav brīnums, ka skolēni matemātiku uztver kā nesaistītu faktu un darbību kopumu. Iespējams, labāks algoritms būtu:

1. Uzskicē grafiku.
   • Nosaki grafika krustpunktus ar x asi (atrisini ).
   • Nosaki zaru vērsumu.
2. Nosaki zīmes intervālos.
3. Uzraksti atbildi.

Šāds algoritms daudz labāk paskaidro jēgu, kāpēc katru soli veicam.

Ceturtajā daļā apskatījām dažus algoritmu aprakstus daļskaitļa dalīšanai ar veselu skaitli, kas atrodami mūsu grāmatās. Diemžēl nepaspēju tos pierakstīt, bet bieži tie bija tālu no izpratnes veicināšanas. Šo atstāšu kā patstāvīgo darbu – izpētīt 5. kalses mācību grāmatas.

“Viltīgi paņēmieni rosinošam tēmas sākumam matemātikā 5. un 6. klasē” (Gunta Lāce)

Īsais kopsavilkums – izskatās, ka Guntas Lāces un Ilzes Frances jaunās matemātikas grāmatas 5. klasei (jau pieejama) un 6. klasei (pa nodaļai tiks ievietota internetā šogad) būs ļoti interesantas un jēdzīgas. Nopirkšu pats un iesaku citiem!

“Sakarības un to modelēšana matemātikā 1. – 9. klasē” (Ilze France)

Šī bija interesanta nodarbība. Manas galvenās atziņas gan varbūt nebija būtiskākās šai nodarbībai, bet man gan.

1. Ir ļoti grūti skolēniem mācīt modelēšanu, ja pašiem to negribas darīt un negribas iejusties skolēnu ādā.
2. Nodarbības ar modelēšanu, īpaši sākumposmā, ir jāplāno ļoti rūpīgi. Viens no uzdevumiem mums bija uztaisīt pašiem savu virkni un aprakstīt, kā veidojas nākamais loceklis. Tikko ir nedaudz sarežģītāka virkne, tas kļūst par ļoti sarežģītu uzdevumu. Īpaši skolēniem, kas to dara pirmo reizi. Taču modelēšana ir pietiekoši svarīga prasme, lai tai veltītu laiku un pūles.

“Kā dators un plastilīns vidusskolas matemātikā lietojams” (Jānis Mencis)

Mencis parādīja Wolfram Alpha, ko, izrādās, ļoti daudzi skolotāji nebija redzējuši. Tas vien bija noderīgs atgādinājums – nedrīkst pieņemt, ka citi skolotāji zina visu to pašu, ko es. Un vēl svarīgāk – ka es zinu visu svarīgo, ko zina citi. Jāturpina mācīties.

Kā parasti, Mencis piedāvāja arī ļoti interesantu pētniecisko uzdevumu (brīdinājums – dažās nākamajās rindkopās būs netriviāls matemātisks saturs). Doto tabulu var izmantot par pamatu, aprakstot dažādus izliektus telpiskus ķermeņus (3-, 4-, 5-stūru kolonnas apzīmē, cik no ķermeņa skaldnēm ir šāda forma).

Ķermenis	3-stūri	4-stūri	5-stūri	Skaldnes	Šķautnes
Kubs	0	6	0	6	12
Piecstūra piramīda	5	0	1	6	10
…

Protams, te ir svarīgs ievads, lai parādītu, kas slēpjas aiz šīs tabulas (piemēram, četrstūra piramīdu ar nošķeltu virsotni var “izstaipīt” tā, lai veidojas kubs, tāpēc tā ir vienā klasē ar kubu). Un mums jau ir gatava vesela klase ar uzdevumiem – cik dažādas rindiņas var ierakstīt tabulā, ja telpisko ķermeni veidojam no 4, 5, 6, …, n plaknēm? Tabulu, atbilsoši plakņu skaitam, var papildināt ar 6-stūriem, 7-stūriem, …, k-stūriem.

Izaicinošāks uzdevums būtu: “Vai var būt tā, ka diviem ķermeņiem ir vienādi ieraksti tabulā, bet tos “staipot”, nav iespējams no vienas iegūt otru?” Kā ir tad, ja ķermeņiem nav jābūt izliektiem? Skolēni, paši to nezinot, kļūst par topoloģijas pētniekiem.

Skaidrs, ka Mencim krājumā ir daudz brīnišķīgu uzdevumu, kas matemātiku skolā varētu padarīt interesantāku, radošāku un dziļāku. Tomēr mani nepamet sajūta, ka mācību satura izvēle Menča nodarbībās tiek balstīta uz to, cik interesants attiecīgais uzdevums tajā brīdī ir pašam Mencim (Atvainojos, ja kļūdos!). Man šķiet, ka skolēni un skolotāji Latvijā iegūtu ārkārtīgi daudz, ja Menča nodarbībās centrā būtu skolēna un skolotāja vajadzības, un tiktu paskaidrots, kāpēc šajā brīdī tiek mācīts tieši šis saturs; kā tas iederas lielajā bildē.

Jāatzīst, ka matemātiķis manī tomēr priecājas par šiem uzdevumiem, kas ir interesanti man pašam!

Plenārsēde. “Pēctecība dabaszinātņu un matemātikas izglītībā: pamatskola – vidusskola – augstskola – darba tirgus”

Varbūt biju izsalcis pēc šāda veida diskusijām, bet arī plenārsēde šķita saturīga un interesanta. Dalībnieki (Mārcis Auziņš, Ina Druviete, Līga Meņģelsone, Normunds Bergs, Jānis Švirksts, Dace Namsone) piedāvāja atšķirīgus vērtējumus un redzējumus dabaszinību un matemātikas izglītības situācijai un attīstībai Latvijā, taču katrs piedāvāja saturīgus argumentus un diskusija bija fokusēta, par tēmu.

Viena lietas, kas varbūt nebija centrāla, bet man iespiedās atmiņā, bija Normunda Berga teiktais: “Juristi diskutē, kāda būs autonomu (pašbraucošu) mašīnu ražotāju atbildība, ja jāizvēlas starp diviem sliktiem lēmumiem.” Vēl nesen šie jautājumi (“Braucot ar mašīnu tev ir divas izvēles – braucot taisni, nobrauksi piecus cilvēkus, bet pagriežot mašīnu – vienu. Kāds būtu tavs lēmums?”) bija interesanti, bet tīri hipotētiski. Nebiju apzinājies, ka līdz ar programmēšanu, kur līdzīgi gadījumi ir jāparedz, tie ir kļuvuši pavisam taustāmi.

Noslēgumam

Paldies LU DZM IC par konferenci! Jāpiebilst, ka dažās no darbnīcām DZM atgādināja par iespēju skolām aicināt savus speciālistus vadīt profesionālās pilnveides kursus. Vairāk par to var uzzināt šeit. Spriežot pēc šīs konferences – noteikti ir tā vērts!